Restricted isometry property for random matrices with heavy tailed columns

Let A be a matrix whose columns X1, . . . , XN are independent random vectors in R. Assume that p-th moments of 〈Xi, a〉, a ∈ Sn−1, i ≤ N , are uniformly bounded. For p > 4 we prove that with high probability A has the Restricted Isometry Property (RIP) provided that Euclidean norms |Xi| are concentrated around √ n and that the covariance matrix is well approximated by the empirical covariance matrix provided that maxi |Xi| ≤ C(nN). We also provide estimates for RIP when Eφ (|〈Xi, a〉|) ≤ 1 for φ(t) = (1/2) exp(t), with α ∈ (0, 2]. Soit A une matrice dont les colonnes X1, . . . , XN sont des vecteurs indépendants de R. On suppose que les moments d’ordre p des 〈Xi, a〉, a ∈ Sn−1, 1 ≤ i ≤ N sont uniformément bornés pour un p > 4. On démontre que si les normes euclidiennes des |Xi| se concentrent autour de √ n , la matrice A vérifie une propriété d’isométrie restreinte avec grande probabilité et que si maxi |Xi| ≤ C(nN) la matrice de covariance empirique est une bonne approximation de la matrice de covariance. On démontre aussi une propriété d’isométrie restreinte quand Eφ (|〈Xi, a〉|) ≤ 1 pour tout a ∈ Sn−1, 1 ≤ i ≤ N avec φ(t) = (1/2) exp(t) et α ∈ (0, 2].